بحث عن الضرب الداخلي في الرياضيات كامل العناصر

بحث عن الضرب الداخلي في الرياضيات كامل العناصر

مبرهنة (1-1)

(متباينة كوجي ــ شفارتز): إذا كانت u، v متجهات في فضاء الضرب الداخلي الحقيقي فإن:

البرهان:

من المتباينة يتضح أن متعددة الحدود at2+bt+c اما لا تحتوي على أساس حقيقية أو جذر حقيقي متكرر. لذا فإن مميزها يحقق المتباينة.

حيث أن الصيغة الأولى حصلنا عليها بموجب مبرهنة (1-1) والصيغة الثانية حصلنا عليها من الصيغة الأول باستخدام حقيقة خبر أن

مثال(1):

لاحظ أن متباينة كوجي ــ شفارتز  يمكن اعتبارها كحالة خاصة من مبرهنة (1-1) وذلك بأخذ <v،u>كضرب داخلي إقليدي v u.

خواص الطول والمسافة في فضاء الضرب الداخلي:

إذا كانت  v  u  k متجهات في فضاء الضرب الداخلي V و k كمية ثابتة فإن:

                             

من السهولة اثبات صحة الخواص أعلاه لذا نترك براهينها وللتوضيح سنبرهن الخاصية رقم هاتف 4.

ملاحظة: يتبين عبر الخواص الثمان أن خواص المتجهات في فضاء إقليدس النوني تبقى متحققة في فضاء الضرب الداخلي.

الزاوية بين المتجهات في فضاء الضرب الداخلي:

مثال(2):

اوجد الزاوية θ المحصورة بين المتجهين  v = (2،، 1،5) و u = (1، -3، 2) في R2

الحل:

تعريف (1-2):

يقال للمتجهات v و u في فضاء الضرب الداخلي بأنها متعامدة إذا تحقق الشرط الآتي:

                                                                             <u،v>=0

مثال(3):

مثال(4):

لتكن p = x و q = x2 متعددتي حدود في p2 المعرف عليها الضرب الداخلي.

                                      

لذا فإن p و q متعامدتان نسبة للضرب الداخلي.

مبرهنة (1-3):

(مبرهنة فيثاغورس): إذا كانت u، v متجهات متعامدة في فضاء الضرب الداخلي، فإن:

                                                                   

البرهان:

مثال(5): لتكن q، p كما في المثال(4)، فإن:

                                                

يمكن حل المثال(5): بطريقة أخرى باستخدام تعريف التكامل كالآتي:

                                      

وهي نفس النتيجة التي حصلنا عليها سابقاً.

تعريف (1-4):

لتكن U فضاء مؤقت من فضاء الضرب الداخلي V. المتجه v في V يقال له عمود على U إذا كان عمودياً على كل متجه في U. مجموعة كل المتجهات في V العمودية على U يقال لها المتممة العمودية للفضاء الجزئي U .

مبرهنة (1-5):

إذا كانت U فضاء مؤقت في فضاء الضرب الداخلي V، فإن:

1. U⟘ فضاء مؤقت في V.

2. المتجه الوحيد المشترك بين U، V هو المتجه الصفري.

3. المتمم العمود على U هو U [أي أن (U1)1 ] .

البرهان:

(1) نفس u، v متجهين في W1 و k كمية ثابتة، وليكن w في W، عليه فإن <u،w>=0،<v،w>=0

إذن:

                   

مبرهنة (1-6):

لتكن A مصفوفة سعتها m x  n فإن:

1. الفضاء الصفري وفضاء صفوف A هما متممان متعامدة فيR2  نسبة للضرب الداخلي الاقليدي.

2. الفضاء الصفري مصفوفة AT وفضاء أعمدة A هما متممات متعامدة في Rm نسبة للضرب الداخلي الاقليدي.

البرهان:

1. المطلوب برهانه هو إذا كان v متجه ما عمود على أي متجه في فضاء صفوف A فإن     Av = 0  وبالعكس Av = 0 فإن V  متعمد مع أي متجه في فضاء صفوف A لأن يعطينا أن المتممات المتعمدة لفضاء صفوف A هي الفضاء الصفري للمصفوفة A.

إذن نفرض أن v متعامد مع أي متجه في فضاء صفوف A. على وجه الخصوص نفرض v متعامد مع متجهات صفوف A، لنسميها r1 ، r2، … ، rn.

                                                                   

إذن:

عليه فإن النظام الخطي Ax = 0 يمكن كتابته بالشكل:

لهذا فإن v هو حل لهذا النظام، ومن ذلك نستنتج أن هذا الحل يقع في فضاء A الصفري.

بالعكس: نفرض أنv  ينتمي لفضاء A الصفري بحيث Av  = 0، لذا فإن:

                                                          

ولكن إذا كان r أي متجه في فضاء صفوف A فإن r يكتب:

                                                                   

لهذا:

                                                          

إذن v يتعامد مع كل متجه من متجهات فضاء صفوف A.

2. باستخدام برهان الجزء الاول نبرهن الجزء الثاني عبر كون فضاء أعمدة A هو فضاء صفوف AT.

مثال(6):

أوجد المتمم العمودي على الفضاء الجزئي  U  في   R4   المتولد من:

          

لذا فإن الفضاء الصفري للمصفوفة A، الذي هو المتمم العمودي لـ U، هو مجموعة المتجهات:

                                                                   

عليه فإن (-5، 4، -2، 1) هي أساس U1.

ملاحظة:

بإضافة الخواص الآتية:

1. المتمم العمود لفضاء A الصفري هو Rn.

2. المتمم العمودي لفضاء صفوف A هو 0.